Question

2．如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，過OA的中點C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點，且DF=2$\sqrt{3}$，以O為圓心，OC為半徑作弧CE，交OB于點E．
（1）求OA的長；
（2）計算陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明OA⊥DF，由垂徑定理求出CD=$\sqrt{3}$，由OD=2CO推出∠CDO=30°，設OC=x，則OD=2x，利用勾股定理即可解決問題．
（2）根據S_陰=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE計算即可．

解答 解；（1）連接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，∴OA⊥DF，∴CD=$\frac{1}{2}$DF=$\sqrt{3}$
在Rt△OCD中，∵C是AO中點，
∴OA=OD=2CO，
設OC=x，
則x²+（ $\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=1，
∴OA=OD=2，
（2）∵OC=$\frac{1}{2}$OD，∠OCD=90°，∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S_陰=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE
=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{π}{12}$．

點評 本題考查了扇形面積、垂徑定理、勾股定理、有一個角是30度的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用分割法求面積．學會把求不規則圖形面積轉化為求規則圖形面積，屬于中考�？碱}型．