Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函數y₁=$\frac{m}{x}$的圖象經過點A，反比例函數y₂=$\frac{n}{x}$的圖象經過點B，則下列關于m，n的關系正確的是（　　）

• A． m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n
• B． m=-$\sqrt{3}$n
• C． m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$n
• D． m=-3n

Answer 1

分析 過點B作BE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，設點B坐標為（a，$\frac{n}{a}$），點A的坐標為（b，$\frac{m}{b}$），證明△BOE∽△OAF，利用對應邊成比例可求出m、n的關系．

解答 解：過點B作BE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，

∵∠OAB=30°，
∴OA=$\sqrt{3}$OB，
設點B坐標為（a，$\frac{n}{a}$），點A的坐標為（b，$\frac{m}{b}$），
則OE=-a，BE=$\frac{n}{a}$，OF=b，AF=$\frac{m}{b}$，
∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
又∵∠BEO=∠OFA=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴$\frac{OE}{AF}$=$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{-a}{\frac{m}{b}}$=$\frac{n}{\frac{a}{b}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得：m=-$\sqrt{3}$ab，n=$\frac{ab}{\sqrt{3}}$，
故可得：m=-3n．
故選D．

點評 本題考查了反比例函數的綜合，解答本題的關鍵是結合解析式設出點A、B的坐標，得出OE、BE、OF、AF的長度表達式，利用相似三角形的性質建立m、n之間的關系式，難度較大．