Question

4．如圖，拋物線y=-x²+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸與x軸交于點N，過拋物線的頂點M作ME⊥y軸于點E，連接BE交MN于點F，已知點A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求該拋物線的頂點M的坐標(biāo)；
（2）求△EMF與△BNF的面積之比．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標(biāo)代入y=-x²+2x+c即可求得點c的值，從而可以求得拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以求得點B、M的坐標(biāo)，從而可以求得△EMF與△BNF的面積之比．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（-1，0）在拋物線y=-x²+2x+c上，
0=-（-1）²+2×（-1）+c，
解得，c=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點M的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），頂點M的坐標(biāo)為（1，4），
∴點E（0，4），點B（3，0），
設(shè)過點EB的直線解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{4}{3}x+4$，
當(dāng)x=1時，y=-$\frac{4}{3}$×1+4=$\frac{8}{3}$，
∴點F（1，$\frac{8}{3}$），
∴ME=1，MF=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，NF=$\frac{8}{3}$，BN=3-1=2，
∴△EMF與△BNF的面積之比是：$\frac{\frac{1×\frac{4}{3}}{2}}{\frac{2×\frac{8}{3}}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
即△EMF與△BNF的面積之比是：1：4．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．