Question

3．如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB=DE．
（1）求證：BD=BC；
（2）若BD=6cm，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明BD=BC，只要證明△ABC≌△EDB即可．
（2）由E是BC中點，BD=6cm，BD=BC，推出BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解決問題．

解答 （1）證明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DBC}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC．

（2）解：∵E是BC中點，BD=6cm，BD=BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3cm，
∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3cm．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．