Question

19．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，與y軸相交于點C，請完成下面的填空：
（1）該拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）在該拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△QAC的周長最小，則Q點的坐標為（-1，2）．
（3）在拋物線上的第二象限上存在一點P，使△PBC的面積最大，則點P的坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△PBC的最大面積為$\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，把問題轉化為解方程組即可．
（2）如圖1中，連接BC交對稱軸于Q，此時AQ+QC最小，即△QAC的周長最小，求出直線BC的解析式即可解決問題．
（3）如圖2中，設P（m，-m²-2m+3），作PM∥軸，交BC于M．則M（m，m+3）．構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
故答案為y=-x²-2x+3．

（2）如圖1中，連接BC交對稱軸于Q，此時AQ+QC最小，即△QAC的周長最小，

設最小BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
∵拋物線的對稱軸x=-1，
∴Q（-1，2）．
故答案為（-1，2）．

（3）如圖2中，設P（m，-m²-2m+3），作PM∥軸，交BC于M．則M（m，m+3）．

S_△PBC=$\frac{1}{2}$•PM•3=$\frac{3}{2}$（-m²-2m+3-m-3）=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當m=-$\frac{3}{2}$時，△PBC的面積最大，最大值為$\frac{27}{8}$，此時點P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
故答案為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、軸對稱-最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確定函數解析式，學會利用對稱解決最小值問題，學會構建二次函數，利用二次函數的性質解決實際問題，屬于中考壓軸題．