Question

13．如圖，過?ABCD中對角線的中點O作兩條互相垂直的直線，分別交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H，試判斷四邊形EFGH的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 根據平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形解答．

解答 解：在平行四邊形ABCD中，OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵EG⊥FH，
∴四邊形EFGH是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定，全等三角形的判定與性質；熟記性質并求出三角形全等從而得到對角線被互相平分是解題的關鍵．