Question

4．已知關于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m=0
（1）證明原方程有兩個不相等的實數根；
（2）若拋物線y=x²-（m-3）x-m與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．（友情提示：AB=|x₁-x₂|）

Answer 1

分析 （1）根據根的判別式，可得答案；
（2）根據根與系數的關系，可得A、B間的距離，根據二次函數的性質，可得答案．

解答 解：（1）△=[-（m-3）]²-4（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8，
∵（m-1）²≥0，
∴△=（m-1）²+8＞0，
∴原方程有兩個不等實數根；
（2）存在，
由題意知x₁，x₂是原方程的兩根，
∴x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m．
∵AB=|x₁-x₂|，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（m-3）²-4（-m）=（m-1）²+8，
∴當m=1時，AB²有最小值8，
∴AB有最小值，即AB=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，利用了根的判別式，根據根與系數的關系，利用完全平方公式得出二次函數是解題關鍵，又利用了二次函數的性質．