Question

12．已知關于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0．
（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；
（2）若方程的兩個根分別為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=31+x₁x₂，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）根據方程有實數根結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出結論；
（2）利用根與系數的關系可得出x₁+x₂=2m+3、x₁•x₂=m²+2，結合x₁²+x₂²=31+x₁x₂即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

解答 解：（1）∵方程x²-（2m+3）x+m²+2=0有實數根，
∴△=[-（2m+3）]²-4（m²+2）=12m+1≥0，
解得：m≥-$\frac{1}{12}$．
（2）∵方程x²-（2m+3）x+m²+2=0的兩個根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m+3，x₁•x₂=m²+2，
∵x₁²+x₂²=31+x₁x₂，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=31+x₁x₂，即m²+12m-28=0，
解得：m₁=2，m₂=-14（舍去），
∴實數m的值為2．

點評 本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，熟練掌握當一元二次方程有實數根時根的判別式△≥0是解題的關鍵．