Question

12．如圖，等腰△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于D點，DE⊥BC．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）如果⊙O的直徑是5，DE=2，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，易證∠C=∠ADO，所以OD∥BC，從而可知∠ODE=∠DEC=90°，
（2）連接DB，可證明∠DBE=∠CDE，從而可知△DBE∽△CDE，根據相似三角形的性質可知DE²=CE•BE，設CE=x，列出方程即可求出x的值，從而求出tanC的值．

解答 解：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠C=∠ADO，
∴OD∥BC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線

（2）連接DB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴BC=5，
設CE=x，
∴BE=5-x，
∵∠BDE+∠DBE=∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠DBE=∠CDE，
∴△DBE∽△CDE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，
∴DE²=CE•BE，
∴4=x（5-x）
∴x=1或x=4，
∴tanC=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$或2

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及相似三角形的性質與判定，解方程，等腰三角形的性質，銳角三角函數等知識，本題屬于中等題型．