Question

3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB邊上的高，AF平分∠CAB交CE于點F，過點F作FD∥CB交AB于點D．求證：AC=AD．

Answer 1

分析 由平行的性質和直角三角形的性質可證明∠ADF=∠B=∠ACF，結合角平分線的定義可證明△ACF≌△ADF，可證得AC=AD．

解答 證明：∵FD∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠ACF+∠ECB=∠ECB+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF，
在△ACF和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠DAF}\\{∠ACF=∠ADF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADF（AAS），
∴AC=AD．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、角平分線的定義，正確尋找全等三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．