Question

18．已知點A（0，2），B（-1，0），C（2，0），P為線段AO上一動點．
（1）求AP+$\sqrt{2}$BP的最小值及點P的坐標；
（2）求AP+$\sqrt{5}$CP的最小值及點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，將線段BP繞點B順時針旋轉90得到相等BE，作EM⊥y軸于M，BF⊥ME于F．由△BOP≌△BFE，推出OB=BF=OM=1，所以點P在運動時，點E在直線y=-1時運動，因為PA+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，屬于欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，所以當點E與點M重合時，根據垂線段最短，可知AP+PE的最小值=AM．
（2）如圖2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，連接PE，則PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x軸于F．由△POC∽△CFE，推出$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，由OC=2，推出EF=OM=4，所以點P運動時，點E在直線y=-4上運動，所以AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，所以當E與M重合時，AP+$\sqrt{5}$PC的最小值為線段AM的長．

解答 解：（1）如圖1中，將線段BP繞點B順時針旋轉90得到相等BE，作EM⊥y軸于M，BF⊥ME于F．

∵∠BFM=∠FMO=∠BOM=90°，
∴四邊形OBFM是矩形，
∴∠OBF=∠PBE=90°，
∴∠PBO=∠FBE，
在△BOP和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBO=∠FBE}\\{∠BOP=∠BFE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△BFE，
∴OB=BF=OM=1，
∴點P在運動時，點E在直線y=-1時運動，
∵PE=$\sqrt{2}$PB，
∴PA+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，
∴欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，
∴當點E與點M重合時，根據垂線段最短，可知AP+PE的最小值=AM=OA+OM=3，
∴AP+$\sqrt{2}$BP的最小值為3，此時點P的坐標為（0，1）．

（2）如圖2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，連接PE，則PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x軸于F．

∵∠PCO+∠ECF=90°，∠ECF+∠FEC=90°，
∴∠PCO=∠FEC，∵∠POC=∠EFC=90°，
∴△POC∽△CFE，
∴$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，∵OC=2，
∴EF=OM=4，
∴點P運動時，點E在直線y=-4上運動，
∴AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，
∴當E與M重合時，AP+$\sqrt{5}$PC最小值為線段AM的長，
∴AP+$\sqrt{5}$CP的最小值為6，此時點P的坐標為（0，1）．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線構造全等三角形或相似三角形，把問題轉化為垂線段最短，屬于中考壓軸題．