Question

18．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，BC⊥OP交PA于點(diǎn)C，BC=3，PB=4，則⊙O的半徑為6．

Answer 1

分析 連接OA，由切線的性質(zhì)得出∠OAP=90°，證出BC是⊙O的切線，由勾股定理求出PC=$\sqrt{B{C}^{2}+P{B}^{2}}$=5，由切線長(zhǎng)定理得：AC=BC=3，求出PA=3+5=8，證明△AOP∽△BCP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OA即可．

解答 解：連接OA，如圖所示：
∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC⊥OP，
∴BC是⊙O的切線，PC=$\sqrt{B{C}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由切線長(zhǎng)定理得：AC=BC=3，
∴PA=3+5=8，
∵∠OAP=∠CBP=90°，∠P=∠P，
∴△AOP∽△BCP，
∴$\frac{OA}{BC}=\frac{PA}{PB}$，即$\frac{OA}{3}=\frac{8}{4}$，
解得：OA=6；
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線長(zhǎng)定理和勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．