Question

20．某企業有員工300人，生產A種產品，平均每人每年可創造利潤m萬元（m為大于零的常數）．為減員增效，決定從中調配x人去生產新開發的B種產品．根據評估，調配后，繼續生產A種產品的員工平均每人每年創造的利潤可增加20%，生產B種產品的員工平均每人每年可創造利潤1.54m萬元．
（1）調配后，企業生產A種產品的年利潤為1.2（300-x）m 萬元，企業生產B種產品的年利潤為1.54mx 萬元（用含x和m的代數式表示）．若設調配后企業全年總利潤為y萬元，則y關于x的函數解析式為y=360m+0.34mx．
（2）若要求調配后，企業生產A種產品的年利潤不小于調配前企業年利潤的$\frac{4}{5}$，生產B種產品的年利潤大于調配前企業年利潤的$\frac{1}{2}$，應有哪幾種調配方案？請設計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大（必要時，運算過程可保留3個有效數字）．

Answer 1

分析 （1）調配后企業生產A種產品的年利潤=生產A種產品的人數×原來平均每人每年可創造利潤×（1+20%）；生產B種產品的年利潤=生產B種產品的人數×1.54m；總利潤=調配后企業生產A種產品的年利潤+生產B種產品的年利潤，把相關數值代入即可；
（2）關系式為：調配后企業生產A種產品的年利潤≥調配前企業年利潤的五分之四，生產B種產品的年利潤＞調配前企業年利潤的一半，把相關數值代入求得x的取值范圍，根據x的實際意義確定其具體值，從而得出調配方案；再根據（1）中y與x的關系式，運用一次函數的性質，可求得利潤最大的調配方案．

解答 解：（1）生產A種產品的人數為300-x，平均每人每年創造的利潤為m×（1+20%）萬元，所以調配后企業生產A種產品的年利潤為1.2（300-x）m萬元；
生產B種產品的人數為x，平均每人每年創造的利潤為1.54m，所以生產B種產品的年利潤為1.54mx萬元；
調配后企業全年的總利潤y=1.2（300-x）m+1.54mx=360m+0.34mx．
故答案為：1.2（300-x）m；1.54mx；y=360m+0.34mx；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{1.2（300-x）m≥\frac{4}{5}×300m}\\{1.54xm＞\frac{1}{2}×300m}\end{array}\right.$，
解得：97 $\frac{31}{77}$＜x≤100，
∵x為正整數，
∴x可取98，99，100．
∴共有三種調配方案：
①202人生產A種產品，98人生產B種產品；
②201人生產A種產品，99人生產B種產品；
③200人生產A種產品，100人生產B種產品；
∵y=0.34mx+360m，
∴x越大，利潤y越大，
∴當x取最大值100，即200人生產A種產品，100人生產B種產品時總利潤最大．

點評 本題考查一元一次不等式組的應用，一次函數的性質及方案選擇問題，根據關鍵語句得到相應的關系式是解決問題的關鍵．