Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°．動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t s，四邊形APQC的面積為y cm²．
（1）求y與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（2）當t為何值時，y取得最小值？最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）過P作PH⊥BC，垂足為H，解等腰直角三角形PHB，求出PH的長，利用路程=速度×時間表示出BQ，得出S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t，那么y=S_△ABC-S_△BPQ，代入即可，進而根據條件得到t的取值范圍；
（2）利用配方法將（1）中所求解析式變形為頂點式，即可解決問題．

解答 解：（1）過P作PH⊥BC，垂足為H，如圖，
在Rt△PHB中，∵PB=AB-AP=4-t，∠B=45°，∠PHB=90°，
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）．
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t，
∴y=S_△ABC-S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×4×4-（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8．
∵動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，
∴0＜t＜4．
∴y與t的函數關系式為y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8，0＜t＜4；

（2）y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（t-2）²+8-$\sqrt{2}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$＞0，
∴當t=2時，y取得最小值，最小值是8-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數的應用，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，求出y與t的函數關系式是解決該題的關鍵．