Question

12．如圖，AO=BO=2，∠AOB=90°，△A′、C、D分別與點A重合，在邊BO上、在邊BO的延長線上，且A′C=A′D=$\sqrt{5}$，將△A′CD沿射線OB平移，設平移距離為x（其中0＜x＜3），平移后的圖形與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）求tanD的值；
（2）求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）勾股定理求出OD，再根據正切函數定義可得；
（2）分0＜x≤1和1＜x＜3兩種情況，當0＜x≤1時，設A′C與AB相交于點P，作PQ⊥BO于點Q，設A′D與AB相交于點M，與AO相交于點N，作MR⊥AO于點R，設PQ=h，MR=h′，解直角三角形分別得出CQ=$\frac{1}{2}$h、AR=h′、RN=MRtan∠RMN=h′tan（90°-∠MNR）=h′tan（90°-∠DNO）=h′tanD=2h′，由PQ=BQtanB=BQ即h=（1-x）+$\frac{1}{2}$h，得h=2（1-x），AN=AO-ON=2-ODtanD=2-2（1-x）=2x及AR+RN=AN得h′=$\frac{2}{3}$x，最后根據S=S_△ABO-S_△PBC-S_△AMN可得函數解析式；當1＜x＜3時，設A′D與AB相交于點P，作PQ⊥BO于點Q，同理得BQ=PQ即3-x=h+$\frac{1}{2}$h，得h=$\frac{2}{3}$（3-x），根據三角形面積公式可得此時函數解析式．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠AOB=90°，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{5-{2}^{2}}$=1，
∴tanD=$\frac{AO}{OD}$=$\frac{2}{1}$=2；

（2）如圖1，同理，OC=1，tan∠A′CD=2，tan∠BAO=tanB=1，
當0＜x≤1時，如圖2，

設A′C與AB相交于點P，作PQ⊥BO于點Q，設A′D與AB相交于點M，與AO相交于點N，作MR⊥AO于點R，
設PQ=h，MR=h′，
在Rt△PCQ中，PQ=CQtan∠PCQ，得CQ=$\frac{1}{2}$h，
在Rt△PBQ中，PQ=BQtanB=BQ，即h=（1-x）+$\frac{1}{2}$h，得h=2（1-x），
在Rt△AMR中，MR=ARtan∠BAO=AR，即AR=h′，
在Rt△MNR中，RN=MRtan∠RMN=h′tan（90°-∠MNR）=h′tan（90°-∠DNO）=h′tanD=2h′，
∵AN=AO-ON=2-ODtanD=2-2（1-x）=2x，
AR+RN=AN，即h′+2h′=2x，得h′=$\frac{2}{3}$x，
∴S=S_△ABO-S_△PBC-S_△AMN
=$\frac{1}{2}$AO×BO-$\frac{1}{2}$BC×PQ-$\frac{1}{2}$AN×MR
=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×（1-x）×2（1-x）-$\frac{1}{2}$×2x×$\frac{2}{3}$x
=-$\frac{5}{3}$x²+2x+1；
當1＜x＜3時，如圖3，設A′D與AB相交于點P，作PQ⊥BO于點Q，

設PQ=h，同理得BQ=PQ，
∴3-x=h+$\frac{1}{2}$h，
得h=$\frac{2}{3}$（3-x），
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}{x}^{2}+2x+1}&{（0＜x≤1）}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-2x+3}&{（1＜x＜3）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握解直角三角形和解方程的能力求出所需線段的長度及割補法求三角形的面積是解題的關鍵．