Question

3．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．
下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．
（1）思路梳理
∵AB=AD
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合
∵∠ADC=∠B=90°
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線根據(jù)SAS，易證△AFG≌△AFE，從而可得EF=BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B+∠D=180°時(shí)，仍有EF=BE+DF．
請(qǐng)寫出推理過程：

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；

解答 解：（1）理由是：如圖1，

∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
則∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG=BE+DF；
故答案為：△AFE；

（2）∠B+∠D=180°時(shí)，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案為：∠B+∠D=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．