Question

2．如圖，點B、C、D都在半徑為12的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求弦BD的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ABDC為平行四邊形，推出∠A=∠D=30°，∵∠AOC=2∠D=60°，由此可以證明∠ACO=90°即可．
（2）在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=12，推出OE=$\frac{1}{2}$OB=6，BE=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，根據BD=2BE=12$\sqrt{3}$，即可即可解決問題．
（3）易證△OEB≌△CED，推出S_陰影=S_扇形BOC，由此即可計算．

解答 （1）證明：連接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；　　　

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE，
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=12，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=6，BE=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=12$\sqrt{3}$；　　　

（3）解：在△OEB和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=EC}\\{∠OEB=∠CED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△CED，
∴S_陰影=S_扇形BOC
∴S_陰影=$\frac{60π•1{2}^{2}}{360}$=24π．
答：陰影部分的面積是24π．

點評 本題考查切線的判定、垂徑定理、扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質．平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是發現四邊形ABDC是平行四邊形，屬于中考常考題型．