Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，-1），圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點E為直線BC上的任意一點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點F，問是否存在點E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點E坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設拋物線解析式為頂點式，把C點坐標代入可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標，利用待定系數法可求得直線BC解析式，利用對稱軸可求得D點坐標，則可求得AD²、AC²和CD²，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD為直角三角形，則可求得其面積；
（3）根據題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，當∠DFE=90°時，可知DF∥x軸，則可求得E點縱坐標，代入拋物線解析式可求得E點坐標；當∠EDF=90°時，可求得直線AD解析式，聯立直線AC和拋物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線BC可求得點E的坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，-1），
∴可設拋物線解析式為y=a（x-2）²-1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0-2）²-1=3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；
（2）在y=x²-4x+3中，令y=0可得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
設直線BC解析式為y=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=-1，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
由（1）可知拋物線的對稱軸為x=2，此時y=-2+3=1，
∴D（2，1），
∴AD²=2，AC²=10，CD²=8，
∵AD²+CD²=AC²，
∴△ACD是以AC為斜邊的直角三角形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=2；
（3）由題意知EF∥y軸，則∠FED=∠OCB≠90°，
∴△DEF為直角三角形，分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，
①當∠DFE=90°時，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標相同，
∴F點縱坐標為1，
∵點F在拋物線上，
∴x²-4x+3=1，解得x=2±$\sqrt{2}$，即點E的橫坐標為2±$\sqrt{2}$，
∵點E在直線BC上，
∴當x=2+$\sqrt{2}$時，y=-x+3=1-$\sqrt{2}$，當x=2-$\sqrt{2}$時，y=-x+3=1+$\sqrt{2}$，
∴E點坐標為（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）；
②當∠EDF=90°時，
∵A（1，0），D（2，1），
∴直線AD解析式為y=x-1，
∵直線BC解析式為y=-x+3，
∴AD⊥BC，
∴直線AD與拋物線的交點即為E點，
聯立直線AD與拋物線解析式有x²-4x+3=x-1，解得x=1或x=4，
當x=1時，y=-x+3=2，當x=4時，y=-x+3=-1，
∴E點坐標為（1，2）或（4，-1），
綜上可知存在滿足條件的點E，其坐標為（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）或（1，2）或（4，-1）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的頂點式、直角三角形的判定及性質、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意拋物線三種形式的解析式的靈活運用，在（2）中求得AD、AC、CD的長是解題的關鍵，在（3）中確定出點E的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．