Question

17．在直角三角形ABC中，∠C=90°，點O為AB上的一點，以點O為圓心，OA為半徑的圓弧與BC相切于點D，交AB于點E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）已知BE=2，BD=2$\sqrt{3}$，求圓弧的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求出∠ODC=90°，推出OD∥AC，TUIC∠DAC=∠ODA，根據等腰三角形性質推出∠ODA=∠DAO=∠DAC，即可推出答案；
（2）過過O作OH⊥AC于H，根據垂徑定理求出AE，得出矩形OHCD，求出OH，在△AOH中，根據勾股定理求出半徑即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OA為半徑的圓弧與BC相切于點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：過O作OH⊥AC于H，
∵OH⊥AC，OH過O，
∴AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=1，
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH∥CD，
∵OD∥AC，
∴四邊形OHCD是矩形，
∴OH=DC=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，

點評 本題考查了切線性質，勾股定理，等腰三角形性質，平行線的性質和判定等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．