Question

19．在△ABC中，正方形DEFG的兩個頂點E、F在BC邊上，另兩個頂點D、G分別在AB、AC上，△ADG和△CFG的面積均為1，△BDE的面積為3，求正方形DEFG的面積．

Answer 1

分析 過A作AM⊥BC于M，交DG于N，設正方形DEFG的邊長是a，AN=b，根據三角形面積公式求出BE=3b，CF=b，ab=2，推出b=$\frac{2}{a}$①，根據S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）求出a=2b②，由①②即可求出答案．

解答 解：過A作AM⊥BC于M，交DG于N，

設正方形DEFG的邊長是a，AN=b，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴$\frac{1}{2}$ab=1，$\frac{1}{2}$BE•a=3，$\frac{1}{2}$CF•a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴S_△ADG+S_△BED+S_CFG=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab=1+3+1=5，
∴ab=2，
∴b=$\frac{2}{a}$①，
∵S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=$\frac{1}{2}$（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=$\frac{1}{2}$（a+4b）（a+b）-5=a²，
∴a=2b②，
由①②得：a=2，
即正方形的邊長是2，
∴正方形DEFG的面積=4．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，三角形面積公式，正方形的性質的應用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．