Question

17．如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠EDA=30°，AD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結OD，如圖，由AD平分∠CAM得∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OD∥MN，由于DE⊥MN，所以OD⊥DE，則可根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線．
（2）依題意得到△ACD∽△ADE．根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求得圓的半徑．

解答 證明：（1）連結OD，如圖，
∵AD平分∠CAM，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵∠EDA=30°，AD=6cm，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=3cm．
連接CD．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{6}{3}$=$\frac{AC}{6}$，
則AC=12（cm）．
∴⊙O的半徑是6cm．

點評 本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，線段等量關系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．