Question

1．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點．
（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段BE與BF有怎樣的數量關系？并證明你的結論；
（2）如圖2，當α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根據旋轉的性質得AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，則可證明△ABE≌△C₁BF，于是得到BE=BF
（2）根據等腰三角形的性質得∠A=∠C=30°，利用旋轉的性質得∠A₁=∠C₁=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，則利用平行線的判定方法得到A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，于是可判斷四邊形BC₁DA是平行四邊形，然后加上AB=BC₁可判斷四邊形BC₁DA是菱形．

解答 解：（1）BE=DF．理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC繞點B順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，
∴AB=BC=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
在△ABE和△C₁BF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠{C}_{1}BF}\\{BA=B{C}_{1}}\\{∠A=∠{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C₁BF，
∴BE=BF
（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠A₁=∠C₁=30°，
∵∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形．
又∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的判定方法．