Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x²的對稱軸繞著點P（0，2）順時針旋轉45°后與該拋物線交于A、B兩點，
（1）求直線AB的函數表達式；
（2）若點Q在是該拋物線上直線AB的下方的一點，作QE∥y軸交AB于E，求EQ的最大值；
（3）點M是y軸上的點，且△ABM為直角三角形，直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據題意易得點M、P的坐標，利用待定系數法來求直線AB的解析式；
（2設Q（a，a²），由QE∥y軸交AB于E，得到E（a，a+2）于是得到結論；
（3）設M（0，m）解方程組得到A（-1，1），B（2，4），根據兩點間的距離公式得到AB²=18，AM²=1+（1-m）²，BM²=4+（4-m）²，然后列方程即可得到結論．

解答 解：（1）如圖①，設直線AB與x軸的交點為M．
∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（-2，0）．
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將M（-2，0），P（0，2）兩點坐標代入，得$\left\{\begin{array}{l}{2=k×0+b}\\{0=k•（-2）+b}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=x+2；

（2）∵點Q在是該拋物線上直線AB的下方的一點，
∴設Q（a，a²），
∵QE∥y軸交AB于E，
∴E（a，a+2）
∴EQ的長度=a+2-a²=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴EQ的最大值為$\frac{9}{4}$；

（3）設M（0，m）
解$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴A（-1，1），B（2，4），
∴AB²=18，AM²=1+（1-m）²，BM²=4+（4-m）²，
當AB²=AM²+BM²時，
即18=1+（1-m）²+4+（4-m）²，
解得m₁=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
當AM²=AB²+BM²時，
即1+（1-m）²=18+4+（4-m）²，
解得：m=6，
當BM²=AB²+AM²時，
即4+（4-m）²=18+1+（1-m）²，
解得：m=0，
∴M（0，0），（0，6），（0，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到了待定系數法求一次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值的求法，難度比較大．另外，解答（3）題時，一定要分類討論，做到不重不漏．