Question

8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如圖1，當點A、C、D在同一條直線上時，證明：AE=BD，AE⊥BD．
（2）如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG的大小變化嗎？若不變，求出∠AFG的度數；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由對頂角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
（3）∠AFG=45°，如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，證明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根據對頂角相等得到∠AFG=45°．

解答 （1）證明：如圖1，

在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
（2）成立，
證明：如圖2，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE≌△BCD中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．
（3）∠AFG=45°，
如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，
∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CN，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CM，
∴CM=CN，
∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定定理與性質定理，角平分線的性質，解決本題的關鍵是證明△ACE≌△BCD，得到三角形的面積相等，對應邊相等．