Question

5．如圖，已知直角△ACB，AC=3，BC=4，過直角頂點C作CA₁⊥AB，垂足為A₁，再過A₁作A₁C₁⊥BC，垂足為C₁；過C₁作C₁A₂⊥AB，垂足為A₂，再過A₂作A₂C₂⊥BC，垂足為C₂；…，這樣一直做下去，得到一組線段A₁C₁，A₂C₂…，則線段A_nC_n為3×（$\frac{4}{5}$）²ⁿ．（用含有n的代數式表示）

Answer 1

分析 利用勾股定理求得AB的長，即可得sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，在Rt△ACA₁中CA₁=ACsinA=3×$\frac{4}{5}$，由∠A+∠ACA₁=90°、∠CA₁C₁+∠ACA₁=90°得∠A=∠A₁CC₁，從而得出A₁C₁=CA₁•sinA=3×（$\frac{4}{5}$）²，同理得出A₂C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁴，據此可得出規律．

解答 解：∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵CA₁⊥AB，
∴在Rt△ACA₁中，CA₁=ACsinA=3×$\frac{4}{5}$，
又∵∠A+∠ACA₁=90°，∠CA₁C₁+∠ACA₁=90°，
∴∠A=∠A₁CC₁，
∴A₁C₁=CA₁•sinA=3×（$\frac{4}{5}$）²，
同理可得A₂C₂=3×（$\frac{4}{5}$）⁴，
∴A_nC_n=3×（$\frac{4}{5}$）²ⁿ，
故答案為：3×（$\frac{4}{5}$）²ⁿ．

點評 本題主要考查了勾股定理、直角三角形的性質、運用銳角三角函數表示未知的邊及分析歸納能力，關鍵是確定對應的銳角相等，確定邊的對應關系，利用三角函數得出A₁C₁、A₂C₂的長，從而總結出規律．