Question

17．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A，B的坐標分別為（0，3），（3，0）
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖2，點C是點B關于y軸的對稱點，點D是AB的中點，點P為y軸上自原點向正半軸方向運動的一動點，運動速度為2個單位長度/s，設點P運動的時間為ts，點Q為射線BA上一點，當t=5時，$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，求點Q的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當△PDC為等腰直角三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法可以確定直線AB的解析式．
（2）先求出點D的坐標，設Q（m，n），根據三角形的面積公式代入$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，即可解決問題．
（3）作DM⊥OB，DN⊥OP，利用△DNP≌△DMC，求出PN即可．

解答 解：（1）設直線AB為y=kx+b，
把A（0，3）、B（3，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3．
（2）如圖1，設Q（m，n）
∵P（0，10），A（0，3），B（3，0），AD=DB
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}=\frac{5}{3}$
∴$\frac{\frac{1}{2}×10×|m|}{\frac{1}{2}×6×\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}$，
∴m=$±\frac{3}{2}$，
∵點Q在直線AB上，∴m=$\frac{3}{2}$時，n=$\frac{3}{2}$；m=-$\frac{3}{2}$時，n=$\frac{9}{2}$，
∴Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
（3）如圖2，作DM⊥BO，DN⊥OP垂足分別為M，N．
∵△PDC是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
∵點D坐標（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴DM=DN=$\frac{3}{2}$，
在RT△DNP和RT△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DC}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴RT△DNP≌RT△DMC，
∴PN=CM，
∵CM=$\frac{9}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$，
PN=$\frac{9}{2}$，PO=6，
∴t=$\frac{6}{2}$=3秒

點評 本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式、三角形的面積公式、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、點與坐標的關系等知識，通過作輔助線構造全等三角形是解決第3問的關鍵．