Question

6．已知在同心圓中，大圓的弦AB切小圓于T，過T的直線交大圓于C、D，交小圓于E．
（1）求證：AT²=CT•CE；
（2）若CT=3，TD=6，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥DC垂足為M，先證明EC=DT，再證明△ATC∽△CTB即可．
（2）利用（1）的結論即可．

解答 （1）證明：作OM⊥DC垂足為M，連接OT、AD、BC．
∵AB是切線，
∴OT⊥AB，AT=TB，
∵OM⊥CD，
∴MT=ME，MC=MD，
∴TC=DE，EC=TD，
在△ATD和△TCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠D=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ATD∽△CTB，
∴$\frac{AT}{TC}$=$\frac{TD}{TB}$，
∴AT²=CT•CE．
（2）由（1）可知AT²=CT•CE=CT•TD=3×6=18，
∵AT＞0，
∴AT=3$\sqrt{2}$，
∵OT⊥AB，
∴AT=TB，
∴AB=2AT=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質、相似三角形的性質和判定、垂徑定理，作弦的垂線是圓中常用的輔助線．