Question

14．（1）如圖，∠AOB=45°，∠AOB內有一點P，且OP=5，在OA上有一點Q，OB上有一點R，要使△PQR周長最小，則最小周長是5$\sqrt{2}$（直接寫出答案）
（2）如圖．若去掉（1）中的條件“∠AOB=45°，OP=5”，并把“∠AOB內有一定點P”改為“∠AOB內有兩定點P與G，同時∠POB=∠GOA”這時在射線OB上再取N點，使從N點到P點及G點的距離和為最小；在射線OA上再取M點，使從M點到P點及G點的距離和也為最小，請你說明：NP+NG=MP+MG的理由．

Answer 1

分析 （1）作P關于OA，OB的對稱點P′、P″．連接OP′、OP″、P′P″，P′P″與OA，OB的分別交于Q、R，此時△PQR的周長最短，最短的值是P′P″的長．根據對稱的性質可以證得：△P′OP″是等腰直角三角形，據此即可求解．
（2）作G關于OA的對稱點P′，連接PP′交OA于M，此時MG+MP最小，作P關于OB的對稱點P″，連接QP″交OB于R，此時RQ+RP最小，然后證明△OP′P≌△OGP″得PP′=P″G，據此即可證明．

解答 解：（1）圖1中作P關于OA、OB的對稱點P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OA、OB于Q、R，此時△PQR周長最小．
∵P′、P″關于OA對稱，
∴OP=OP′，QP′=QP，∠P′OA=∠AOP，同理OP″=OP，RP″=RP，∠AOP=∠P″OB，
∴OP′=OP″=OP=5，
∵∠AOB=45°，
∴∠P′OP″=2∠AOB=90°，
∴P′P″=5$\sqrt{2}$
∴△PQR的最小值=PQ+QR+PR=QP′+QR+RP″=P′P″=5$\sqrt{2}$．
故答案為5$\sqrt{2}$．
（2）如圖2，分別作G、P關于最小OA、OB的對稱點P′、P″，連接PP′，GP″分別交OA、OB于M、N．連接OP′、OP″，此時MG+MP最小，NG+NP最小．
∵P′、G關于OA對稱，
∴OP′=OG，P′M=GM，∠AOP′=′AOG，
∴MG+MP=MP′+MP=PP′，
同理OP=OP″，∠BOP=∠BOP″，NG+NP=GP″，
∴∠POP′=∠GOP″
在△POP′和△P″OG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP′=OG}\\{∠P′OP=∠GOP″}\\{OP=OP″}\end{array}\right.$，
∴△OP′P≌△OGP″，
∴PP′=GP″，
∴NP+NG=MP+MG．

點評 本題考查了對稱的性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，解題的關鍵是正確作出圖形．