Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），與y軸相交于點C，⊙O₁為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求⊙O₁的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）如圖所示，由圓周角定理，確定△BO₁C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（-3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=4，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{1}^{1}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
如圖1所示，連接O₁B、O₁B，
由圓周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，
∴△BO₁C為等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半徑O₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{5}$．

點評 本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數解析式、圓的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、正確的作出輔助線是解題的關鍵．