Question

8．如圖，已知點A是雙曲線$y=\frac{2}{x}$在第一象限的分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等腰Rt△ABC，點C在第四象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在第四象限，且雙曲線$y=\frac{k}{x}$始終經過點C，則k的值為-2．

Answer 1

分析 連結OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，設A點坐標為（a，$\frac{2}{a}$），利用反比例函數的性質得到點A與點B關于原點對稱，則OA=OB，再根據等腰直角三角形的性質得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，則根據“AAS”可判斷△COD≌△OAE，所以OD=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，于是C點坐標為（$\frac{2}{a}$，a），最后根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定C點所在的函數圖象解析式．

解答 解：連結OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，如圖，
設A點坐標為（a，$\frac{2}{a}$），
∵A點、B點是正比例函數圖象與雙曲線y=$\frac{2}{x}$的交點，
∴點A與點B關于原點對稱，
∴OA=OB
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠OEA}\\{∠DCO=∠EOA}\\{CO=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，
∴C點坐標為（$\frac{2}{a}$，-a），
∵-a•$\frac{2}{a}$=-2，
∴點C在反比例函數y=-$\frac{2}{x}$圖象上．
故答案為-2．

點評 本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質；熟練運用三角形全等的判定與性質解決線段相等的問題．