Question

3．如圖、矩形ABCD中，AB=8，AD=6．點M是對角線AC上的一個動點，以M點為圓心，線段AM長為半徑畫一個⊙M，若⊙M在以C為端點的矩形ABCD邊上截得的線段EF=$\frac{6}{5}$AM，則線段AM的長是$\frac{30}{7}$或5．

Answer 1

分析 作MN⊥EF于N，連接MF，由垂徑定理得出EN=FN=$\frac{1}{2}$EF，設AM=5x，則MF=5x，EF=6x，得出FN=3x，由勾股定理得出MN=4x，由矩形的性質和勾股定理求出AC，由平行線的性質得出比例式求出MN=$\frac{3}{5}$（10-5x），得出方程$\frac{3}{5}$（10-5x）=4x，解方程求出x，得出AM；當M為AC的中點時，AM=MC，得出方程，解方程求出x，得出AM即可．

解答 解：作MN⊥EF于N，連接MF，如圖所示：
則EN=FN=$\frac{1}{2}$EF，∠MNF=90°，
∵EF=$\frac{6}{5}$AM，
∴設AM=5x，則MF=5x，EF=6x，
∴FN=3x，
由勾股定理得：MN=$\sqrt{M{F}^{2}-F{N}^{2}}$=4x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠D=∠B=90°=∠MNF，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，MN∥AD，
∴$\frac{MN}{AD}=\frac{MC}{AC}$，
即$\frac{MN}{6}=\frac{10-5x}{10}$，
解得：MN=$\frac{3}{5}$（10-5x），
∴$\frac{3}{5}$（10-5x）=4x，
解得：x=$\frac{6}{7}$，
∴AM=$\frac{30}{7}$；
當M為AC的中點時，AM=MC，
即5x=10-5x，
解得：x=1，
∴AM=5；
綜上所述：線段AM的長是$\frac{30}{7}$或5．
故答案為：$\frac{30}{7}$或5．

點評 本題考查了垂徑定理、勾股定理、矩形的性質、平行線分線段成比例定理；熟練掌握矩形的性質，根據題意得出方程是解決問題的關鍵．