Question

13．如圖，∠ABC=90°，P為射線BC上任意一點（點P和點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ，連結QE并延長交BP于點F．補全圖形，并求證：BF=EF．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性質就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出△ABP≌△AEQ，根據全等得出∠ABP=∠AEQ=90°，進而可以得出∠FBE=FEB=30°，就可以得出EF=BF．

解答 證明：如圖所示：

∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△QAE和△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAP=∠EAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△QAE≌△PAB（SAS），
∴∠ABP=∠AEQ=90°．
∴∠AEF=90°，
∴∠ABP=∠AEF
∴∠ABP-∠AEB=∠AEF-∠ABE，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF．

點評 本題考查了等邊三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．