Question

4．（1）【學習心得】
小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一點，且AD=AC，求∠BDC的度數，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=45°．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的數．
小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點為圓心，$\frac{1}{2}$BD長為半徑的圓；△ACD的外接圓也是以BD的中點為圓心，$\frac{1}{2}$BD長為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出∠BAC的度數，請運用小剛的思路解決這個問題．
（3）【問題拓展】
如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=6，CD=2，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，
（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA、OB、OC．利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結合該三角形的性質求得DE=OF=2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE=DF=4；則在Rt△AOF中，易得AF=2$\sqrt{7}$，故AD=2$\sqrt{7}$+4．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AC，
∴以點A為圓心，點B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
故答案是：45；

（2）如圖2，取BD的中點O，連接AO、CO．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴點A、B、C、D共圓，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，

（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點E，作OF⊥AD于點F，連接OA、OB、OC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°．
在Rt△BOC中，BC=6+2=8，
∴BO=CO=4$\sqrt{2}$．
∵OE⊥BC，O為圓心，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OF=2．
在Rt△BOE中，BO=4$\sqrt{2}$，BE=4，
∴OE=DF=4．
在Rt△AOF中，AO=4$\sqrt{2}$，OF=2，
∴AF=2$\sqrt{7}$，
∴AD=2$\sqrt{7}$+4．

點評 本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知識，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法．