Question

16．利用我們學過的知識，可以導出下面這個形式優美的等式：
a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
該等式從左到右的變形，不僅保持了結構的對稱性，還體現了數學的和諧、簡潔美．
（1）請你檢驗這個等式的正確性．
（2）若a=2005，b=2006，c=2007，你能求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值嗎？
（3）若a、b、c，分別是三角形的三條邊，且滿足a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，試猜想此三角形三邊之間有怎樣的數量關系？是什么樣的三角形？

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式將等式的右邊展開，合并同類項后即可得出等式的左邊，從而得出該等式成立；
（2）將a=2005、b=2006、c=2007代入等式a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]中即可求出結論；
（3）由a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0利用偶次方的非負性即可得出a=b=c，從而得出該三角形為等邊三角形．

解答 解：（1）等式右邊=$\frac{1}{2}$（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²），
=$\frac{1}{2}$×2（a²+b²+c²-ab-bc-ac），
=a²+b²+c²-ab-bc-ac=等式左邊．
∴等式a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]成立．
（2）∵a=2005，b=2006，c=2007，
∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=$\frac{1}{2}$×[（-1）²+（-1）²+2²]=3．
（3）∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∵a、b、c分別是三角形的三條邊，
∴該三角形為等邊三角形．

點評 本題考查了因式分解的應用、偶次方的非負性以及等邊三角形的判定，利用完全平方的展開式證出等式a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]成立是解題的關鍵．