Question

12．如圖，在正方形ABCD外側作直線DE，點C關于直線DE的對稱點為M，連接CM，AM．其中AM交直線DE于點N．若45°＜∠CDE＜90°，則當MN=4，AN=3時，正方形ABCD的邊長為（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 5
• C． 5$\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據對稱的性質可知，NC=NM，DC=DM，推出∠NCD=∠NMD=∠DAM，推出∠ANC=90°，求出AC即可解決問題．

解答 解：如圖所示，連接CN、DM、AC，
∵點C關于直線DE的對稱點為M，
∴CN=MN，CD=DM，
∴∠NCM=∠NMC，∠DCM=∠DMC，
∴∠DCN=∠DMN，
在正方形ABCD中，AD=CD，
∴AD=DM，
∴∠DAM=∠DMN，
∴∠DCN=∠DAM，
∵∠ACN+∠CAN=∠BCD-∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，
∴∠ANC=180°-90°=90°，
∴△ACN是直角三角形，
∴AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴正方形ABCD的邊長=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故選D．

點評 本題考查正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是發現△ANC是直角三角形，屬于中考常考題型．