Question

4．如圖，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）．
（2）在（1）的條件下，若∠B=45°，AB=1，⊙P切BC于點(diǎn)D，求劣弧$\widehat{AD}$的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC的平分線，與AC的交點(diǎn)就是圓心P，此時(shí)⊙P與AB，BC兩邊都相切；
如圖，作BC的垂線PD，證明PD和半徑相等即可，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：PA=PD．
（2）要想求劣弧$\widehat{AD}$的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式需求圓心角∠APD的半徑AP的長(zhǎng)，利用四邊形的內(nèi)角和求∠APD=135°，再利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求出AP=PD=DC=$\sqrt{2}$-1，代入公式可求弧長(zhǎng)．

解答 解：（1）作法：作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑作圓．
證明：過(guò)P作PD⊥BC于D，
∵∠BAC=90°，
∴⊙P與AB相切，
∵BP平分∠ABC，
∴AP=PD，
∵⊙P的半徑是PA，
∴PD也是⊙P的半徑，即⊙P與BC也相切；
（2）如圖，∵⊙P與AB，BC兩邊都相切，
∴∠BAP=∠BDP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠APD=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠DPC=45°，
∴△DPC是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
在Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴CB=$\sqrt{2}$，
∵BP=BP，AP=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP，
∴BD=AB=1，
∴CD=PD=AP=$\sqrt{2}$-1，
∴劣弧$\widehat{AD}$的長(zhǎng)=$\frac{135π×（\sqrt{2}-1）}{180}$=$\frac{3\sqrt{2}-3}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓的作圖以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，首先掌握切線的判定方法：①無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑；②有交點(diǎn)，作半徑，證垂直；本題利用了第①種判定方法；并熟練掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．