Question

19．“星星超市”以每件8元的進價新進一批商品，若以每件14元的價格售出，每天能售出100件．市場調查表明：該商品售價x（x是整數，下同）在8≤x≤14范圍內，每件降價1元，每天可多賣10件；該商品售價x在14＜x≤30范圍內，每件漲價1元，每天要少賣4件．
（1）若“星星超市”每天銷售該商品的利潤為y（元），試確定y（元）與每件售價x（元）之間的函數表達式；
（2）每件商品的售價x（元）為多少時，該超市每天銷售該商品的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）分8≤x≤14和14＜x≤30兩種情況，根據“總利潤=單件利潤×銷售量”可得函數解析式；
（2）就（1）中所列函數解析式，配方成頂點式根據二次函數的性質求得函數的最值即可．

解答 解：（1）當8≤x≤14時，每天能銷售該商品[100+10（14-x）]件，y=（x-8）[100+10（14-x）]=-10x²+320x-1920；
當14＜x≤30時，每天能銷售該商品[100-4（x-14）]件，y=（x-8）[100-4（x-14）]=-4x²+188x-1248；

（2）當8≤x≤14時，y=-10x²+320x-1920=-10（x-16）²+640，
∵-10＜0，
∴拋物線開口向下，當x＜16時y隨x的增大而增大，
又8≤x≤14，
∴當x=14時，y_最大=-10×（14-16）²+640=600（元）；
當14＜x≤30時，y=-4x²+188x-1248=-4（x-23.5）²+961，
∵-4＜0，
∴拋物線開口向下，
又14＜x≤30且x是整數，
所以當x=23或x=24時，y_最大=-4（23-23.5）²+961=960（元）；
由于600＜960，
所以當每件商品的售價為23元或24元時，該超市每天銷售該商品的利潤最大，最大利潤是960元．

點評 本題主要考查二次函數的應用，理解題意分類討論，并依據相等關系列出函數解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．