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14.元旦假期,小明一家游覽我市倉圣公園,公園內有一假山,假山上有條石階小路,其中有兩段臺階的高度如下圖所示(圖中的數字表示每一級臺階的高度,單位:cm).請你運用你所學習的統計知識,解決以下問題:

(1)把每一級臺階的高度作為數據,請從統計知識方面(平均數、中位數)說一下有哪些相同點和不同點?
(2)甲、乙兩段臺階哪段上行走會比較舒服?你能用所學知識說明嗎?
(3)為方便行走,公園決定修整這兩段臺階,在不改變臺階數量的前提下,應該怎樣修改會比較好(在下圖上填一下)?并說明一下你的方案的設計思路?

分析 (1)利用平均數計算公式、中位數解答即可;
(2)先求出方差,根據方差的大小再確定哪段臺階路走起來更舒服;
(3)要使臺階路走起來更舒服,就得讓方差變得更小.

解答 解:(1)將甲、乙兩臺階高度值從小到大排列如下,
甲:10,12,15,17,18,18;乙:14,14,15,15,16,16;
甲的中位數是:(15+17)÷2=16,平均數是:$\frac{1}{6}$(10+12+15+17+18+18)=15;
乙的中位數是:(15+15)÷2=15,平均數是:$\frac{1}{6}$(14+14+15+15+16+16)=15;
故兩臺階高度的平均數相同,中位數不同;
(2)${S}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[(10-15)2+(12-15)2+(15-15)2+(17-15)2+(18-15)2+(18-15)2]=$\frac{28}{3}$,
${S}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[(14-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(16-15)2]=$\frac{2}{3}$,
∵乙臺階的方差比甲臺階方差小,
∴乙臺階上行走會比較舒服;
(3)修改如下:

為使游客在兩段臺階上行比較舒服,需使方差盡可能小,最理想應為0,同時不能改變臺階數量和臺階總體高度,
故可使每個臺階高度均為15cm(原平均數),使得方差為0.

點評 此題主要考查了方差在實際生活中的應用,方差是用來衡量一組數據波動大小的量,方差越大,表明這組數據偏離平均數越大,即波動越大,數據越不穩定;反之,方差越小,表明這組數據分布比較集中,各數據偏離平均數越小,即波動越小,數據越穩定.

練習冊系列答案
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