Question

14．元旦假期，小明一家游覽我市倉圣公園，公園內有一假山，假山上有條石階小路，其中有兩段臺階的高度如下圖所示（圖中的數字表示每一級臺階的高度，單位：cm）．請你運用你所學習的統計知識，解決以下問題：

（1）把每一級臺階的高度作為數據，請從統計知識方面（平均數、中位數）說一下有哪些相同點和不同點？
（2）甲、乙兩段臺階哪段上行走會比較舒服？你能用所學知識說明嗎？
（3）為方便行走，公園決定修整這兩段臺階，在不改變臺階數量的前提下，應該怎樣修改會比較好（在下圖上填一下）？并說明一下你的方案的設計思路？

Answer 1

分析 （1）利用平均數計算公式、中位數解答即可；
（2）先求出方差，根據方差的大小再確定哪段臺階路走起來更舒服；
（3）要使臺階路走起來更舒服，就得讓方差變得更小．

解答 解：（1）將甲、乙兩臺階高度值從小到大排列如下，
甲：10，12，15，17，18，18；乙：14，14，15，15，16，16；
甲的中位數是：（15+17）÷2=16，平均數是：$\frac{1}{6}$（10+12+15+17+18+18）=15；
乙的中位數是：（15+15）÷2=15，平均數是：$\frac{1}{6}$（14+14+15+15+16+16）=15；
故兩臺階高度的平均數相同，中位數不同；
（2）${S}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（10-15）²+（12-15）²+（15-15）²+（17-15）²+（18-15）²+（18-15）²]=$\frac{28}{3}$，
${S}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（14-15）²+（14-15）²+（15-15）²+（15-15）²+（16-15）²+（16-15）²]=$\frac{2}{3}$，
∵乙臺階的方差比甲臺階方差小，
∴乙臺階上行走會比較舒服；
（3）修改如下：

為使游客在兩段臺階上行比較舒服，需使方差盡可能小，最理想應為0，同時不能改變臺階數量和臺階總體高度，
故可使每個臺階高度均為15cm（原平均數），使得方差為0．

點評 此題主要考查了方差在實際生活中的應用，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．