Question

9．如圖所示，拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，
（1）求cos∠CAO的值；
（2）求直線AC的函數(shù)關系式；
（3）如果有動點P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，求P點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，可以求得A、B、C三點的坐標，從而可以求得OA、OC、AC的長，進而可以得到cos∠CAO的值；
（2）根據(jù)點A、C兩點的坐標，可以求得直線AC的函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)第三問的條件，可知符合要求的三角形OPA存在三種情況，然后分別畫出相應的圖形，即可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C，
∴x²-4x+3=0，得x=1或x=3，x=0時，y=3，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∴$AC=\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∴cos∠CAO=$\frac{OA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得k=-3，b=3．
即直線AC的解析式為：y=-3x+3；
（3）如果有動點P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，
則有如下三種情況，
第一種情況如下圖1所示，

當∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OA}{OA}$，
∵點C的坐標為（0，3），
∴OP=OC=3，
∴點P的坐標為（0，-3）；
第二種情況如下圖2所示，點P位于y軸正半軸，

當∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即點P的坐標為（0，$\frac{1}{3}$）；
第三種情況如下圖3所示，點P位于y軸負半軸，

當∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即點P的坐標為（0，-$\frac{1}{3}$）．
由上可得，點P的坐標為：（0，-3），（0，$\frac{1}{3}$），（0，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)值、直線的解析式、三角形的相似，解題的關鍵是明確題意，可以求出相應的銳角三角函數(shù)，根據(jù)兩點求出相應的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想解答問題．