Question

17．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB⊥CB于B，DC⊥BC于C，DE平分∠ADC，且E為BC的中點．
（1）求證：AE平分∠BAD；
（2）求∠AED的度數．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF⊥AD于F，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE=EF，再求出BE=EF，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）求出DC∥AB，求出∠CDA+∠BAD=180°，根據角平分線定義得出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，求出∠EAD+∠EDA=90°，即可求出答案．

解答 （1）證明：如圖，過點E作EF⊥AD于F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD；

（2）解：∵∠C=∠B=90°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∵DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°．

點評 本題考查了角平分線性質，平行線的性質和判定的應用，注意：角平分線上的點到角的兩邊距離相等和到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，熟記性質是解題的關鍵．