Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，2），過點B作直線l∥x軸，點P（a，2）是直線l上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ，使∠APQ=Rt∠．
（1）當a=0時，
①點Q的坐標是（2，3）；
②若在y軸上取一點C，使得CA+CQ的值最小，則最小值為3$\sqrt{2}$，點C的坐標為（0，1）．
（2）當a=3時，點Q的坐標是（5，0）．

Answer 1

分析 （1）①證明△BQM≌△ABO，得出BM=AO=1，QM=BO=2，求出OM=3，即可得出結果；
②由最短路徑問題求出點A關于y軸的對稱點，由勾股定理求出DQ的長，用待定系數法求出直線DQ的解析式，即可得出點C的坐標；
（2）證明三角形全等同（1），即可得出結果．

解答 解：（1）①a=0時，P與B重合，如圖1所示：
作QM⊥y軸于M，
∵A（1，0），B（0，2），
∴AO=1，BO=2，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠ABQ=90°，BA=BQ，由角的互余關系得：∠ABO=∠BQM，
在△BQM和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QMB=∠BOA=90°}&{\;}\\{∠BQM=∠ABO}&{\;}\\{BQ=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BQM≌△ABO（AAS），
∴BM=AO=1，QM=BO=2，
∴OM=3，
∴點Q的坐標是（2，3）；
故答案為：（2，3）；
②作點A關于y軸的對稱點D（-1，0），連接DQ交y軸于C，
此時CA=CD，CA+CQ的值最小，CA+CQ=DQ=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即CA+CQ的最小值為3$\sqrt{2}$；
設直線DQ的解析式為y=kx+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線DQ的解析式為y=x+1，
當x=0時，y=1，
∴點C的坐標為（0，1）；
故答案為：3$\sqrt{2}$，（0，1）；
（2）如圖2所示：作AE⊥BP，QF⊥BP，同（1）①得：△APE≌△PQF，
∴PE=FQ=BP-BE=3-1=2，AE=PF=2，
∴BF=3+2=5，
∴點Q的坐標為（5，0）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、最短路徑問題、軸對稱的性質、待定系數法求直線的解析式等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．