Question

11．如圖，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，射線AM⊥AC，點P在AC上運動（不與點A，C重合），點Q在AM上運動（不與點A重合），且始終保持PQ=AB．
（1）點P在AC上運動到什么位置時，△ABC和△QPA全等？請說明理由．
（2）在（1）的情況下，猜想PQ與AB有什么位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP=BC=5，可據此求出P點的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP=AC，P、C重合，不合題意；
（2）由全等三角形的性質知∠B=∠QPA，又∠B+∠BAC=90°，可得∠QPA+∠BAC=90°，即∠POA=90°，即可得答案．

解答 解：（1）根據三角形全等的判定方法HL可知：
①當P運動到AP=BC時，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=BC}\\{PQ=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5；
②當P運動到與C點重合時，AP=AC，不合題意．
綜上所述，當點P運動到距離點A為5時，△ABC與△APQ全等；

（2）由（1）知，Rt△ABC≌Rt△QPA，
∴∠B=∠QPA，
又∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠QPA+∠BAC=90°，即∠POA=90°，
∴PQ⊥AB．

點評 本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．