Question

17．已知拋物線的頂點（2，6），與y軸交于點A（0，2），點E是對稱軸與x軸的交點，點B（n，0）是x軸上的動點，點B繞點A逆時針旋轉90°得到點D，四邊形ABCD是以AB、AD為邊的正方形．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點B在x軸負半軸上，當拋物線經過正方形頂點C時，求n的值；
（3）點B在x軸正半軸上，
①如圖2，當0＜n＜2時，試猜想線段OB與CE的數量關系并證明你的猜想；
②如圖3，當拋物線經過正方形的頂點D時，請直接寫出sin∠DCE的值．

Answer 1

分析 （1）由題意設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+6，把點A（0，2）代入求出a即可．
（2）如圖1，過點C作CH垂直于x軸，H為垂足．△AOB≌△CHB，推出點C的坐標為（n+2，n），由拋物線經過點C（n+2，n），列出方程即可解決問題．
（3）①如圖2，當0＜n＜2時，過點C作CH垂直于x軸，H為垂足．由（2）可知△AOB≌△CHB，推出BH=AO=2，CH=BO=n，由點E的坐標為（2，0），推出OH=OB+BH=n+2，EH=OH-OE=n+2-2=n，推出CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{2}$n，由此即可解決問題．
②如圖3，分別過點C、D作CH垂直于x軸，DF垂直于y軸，H、F均為垂足．根據S_△DCE=$\frac{1}{2}$•DE•EH=$\frac{1}{2}$•DC•CE•sin∠DCE，求出相關線段即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點為（2，6），設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+6，
∵拋物線經過點A（0，2），
∴4a+6=2，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x+2．

（2）如圖1，過點C作CH垂直于x軸，H為垂足．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠HCB=90°-∠HBC=90°=∠ABO，
在△AOB和△CHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠HCB=∠ABO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CHB，
∴BH=AO=2，
∴CH=BO=-n，（n＜0）
∴OH=BO-BH=-n-2，
∴點C的坐標為（n+2，n）．
∵拋物線經過點C（n+2，n），
∴-（n+2）²+4（n+2）+2=n，
即n²+n-6=0，
∴（n+3）（n-2）=0，
解得n=-3或n=2（舍去），
∴n的值為-3．

（3）①如圖2，當0＜n＜2時，過點C作CH垂直于x軸，H為垂足．

由（2）可知△AOB≌△CHB，
∴BH=AO=2，CH=BO=n，
∵點E是對稱軸與x軸的交點，
∴點E的坐標為（2，0），
∴OH=OB+BH=n+2，
∴EH=OH-OE=n+2-2=n，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{2}$n，
∴CE=$\sqrt{2}$OB．

②如圖3，分別過點C、D作CH垂直于x軸，DF垂直于y軸，H、F均為垂足．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠FDA+∠FAD=90°，∠OAB+∠FAD=180°-∠DAB=180°-90°=90°，
∴∠FDA=∠OAB，
∴△FAD≌△OBA，
∴FD=OA=2，AF=OB=n，
∵點D在拋物線上，
∴點D為拋物線的頂點，
∴OF=DE=6，n=AF=OF-OA=6-2=4，
同理可證，BH=OA=2，CH=OB=n=4，OH=OB+BH=n+2=4+2=6，EH=OH-OE=6-2=4，
∴CD=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$•DE•EH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵S_△DCE=$\frac{1}{2}$•DC•CE•sin∠DCE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{2}$×sin∠DCE=4$\sqrt{10}$sin∠DCE，
∴4$\sqrt{10}$sin∠DCE=12，
∴sin∠DCE=$\frac{12}{4\sqrt{10}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．