Question

3．先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…
（1）計算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$；
（2）探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；（用含有n的式子表示）
（3）若$\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+\frac{x}{3×4}+…+\frac{x}{10×11}=\frac{20}{11}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）將$\frac{1}{1×2}，\frac{1}{2×3}，\frac{1}{3×4}$，按照題目規律展開中間兩兩相加和為0，剩首尾兩項計算便可；
（2）同樣將$\frac{1}{1×2}、\frac{1}{2×3}、\frac{1}{3×4}、…、\frac{1}{n×（n+1）}$按照題目規律展開，最后中間全部抵消，剩首尾兩項$1、-\frac{1}{n+1}$計算可得；
（3）將方程左邊提取公因式x后，另一個因式為$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{10×11}$，利用上述規律計算后可化簡方程，解方程可得解．

解答 解：（1）原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
=$1-\frac{1}{4}$
=$\frac{3}{4}$
（2）原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$
（3）由原方程可得：
 $x（\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{10×11}）=\frac{20}{11}$
 $x（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）=\frac{20}{11}$
 $x（1-\frac{1}{11}）=\frac{20}{11}$
  $\frac{10}{11}x=\frac{20}{11}$
 解得  x=2．
故答案為：$\frac{3}{4}$，$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律和運用已知規律解方程的運算能力，是一個運用新知識去解決其他問題的好題目．