Question

3．如圖，已知拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5的頂點為D，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且AB=6．
（1）求拋物線C₁的解析式及頂點D的坐標；
（2）將直線y=-$\frac{1}{3}$x沿y軸向下平移m個單位（m＞0），若平移后的直線與拋物線C₁相交于點M、N（點M在點N的左邊），且MN=$\sqrt{10}$，求m的值；
（3）點P是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點P旋轉180°后得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點為C，與x軸相交于E、F兩點（點E在F的左邊），當以點D、C、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據函數值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得A、B點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據消元解方程組，可得5x²+23x+9m-45=0，根據根與系數的關系，可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，根據勾股定理，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34，根據勾股定理的逆定理，可得關于n的方程，根據解方程，可得n的值，可得C點坐標．

解答 解：（1）拋物線y=a（x+2）²-5，得
對稱軸為x=-2．
由拋物線y=a（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點，且AB=6，得
-2+3=1，即B（1，0），-2-3=-5，即A（-5，0），
將A點坐標代入函數解析式，得
9a-5=0，解得m=$\frac{5}{9}$，
拋物線的解析式y=$\frac{5}{9}$（x+2）²-5，頂點D（-2，-5）；
（2）如圖1，
設MN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立MN與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{9}（x+2）^{2}-5}\\{y=-\frac{1}{3}x-m}\end{array}\right.$，
化簡，得
5x²+23x+9m-45=0．
x₁+x₂=-$\frac{23}{5}$，x₁x₂=$\frac{9m-45}{5}$．
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$．
（y₁-y₂）²=（kx₁-kx₂）²=k²（x₁+x₂）²=（-$\frac{1}{3}$）²[（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$]
由MN=$\sqrt{10}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，得
（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$+（-$\frac{1}{3}$）²[（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$]=10，
化簡，得180m=1204，
解得m=$\frac{301}{45}$；
（3）由旋轉的性質，得
C（n，5），F（n+3，0），P（n-3，0）．
F、A關于P點對稱，得
點坐標（$\frac{n-2}{2}$，0）．
DC²=（n+2）²+（5+5）²，DF²=（n+5）²+5²，CF²=（n+3-n）²+5²=34；
①當CD²+DF²=CF²時，（n+2）²+（5+5）²+（n+5）²+5²=34，
化簡，得n²+7n+60=0，△=7²-4×1×60=-191＜0，方程無解；
②如圖2，

當CD²+CF²=DF²時，（n+2）²+（5+5）²+34=（n+5）²+5²，
化簡，得6n=88，解得n=$\frac{44}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$，
此時C點坐標為（$\frac{19}{3}$，0）；
③如圖3，
當CF²+DF²=CD²時，（n+5）²+5²+34=（n+2）²+（5+5）²，
化簡，得6n=20，
解得n=$\frac{10}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$，
此時C點坐標為（$\frac{2}{3}$，0）．
綜上所述：若以點M、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，點C的坐標（$\frac{19}{3}$，0），（$\frac{2}{3}$，0）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用函數值相等的兩點關于對稱軸對稱得出A、B點坐標是解題關鍵，又利用了待定系數法求函數解析式；利用代入消元法得出5x²+23x+9m-45=0是解題關鍵，又利用了勾股定理得出關于m的方程；利用了旋轉的性質，利用勾股定理得出關于n的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏