Question

15．如圖，P是拋物線y=-x²+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的最大值為6．

Answer 1

分析 設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據矩形的周長公式得到C=-2（x-1）²+6．根據二次函數的性質來求最值即可．

解答 解：∵y=-x²+x+2，
∴當y=0時，-x²+x+2=0即-（x-2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=-1
故設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x-x²+x+2）=-2（x-1）²+6．
∴當x=1時，C_最大值=6，．
即四邊形OAPB周長的最大值為6．
故答案是：6．

點評 本題考查了二次函數的最值，二次函數圖象上點的坐標特征．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．本題采用了配方法．