Question

4．根據下面圖形，解答問題：
（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線（如圖1），求∠DAG的度數？
（2）在（1）中，若去掉“AB=AC”的條件，其余條件不變（如圖2），還能求出∠DAG的度數嗎？若能，請求出∠DAG的度數；若不能，請說明理由；
（3）在（2）的情況下，試探索△ADG的周長與BC長的關系？

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（2）利用線段垂直平分線的性質求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，求出即可；
（3）根據等腰三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理：GA=GC，∠C=∠GAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠GAC=80°，
∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°；

（2）能，∠DAG=20°；
理由是：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理：GA=GC，∠C=∠GAC，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠GAC=80°，
∴∠DAG=∠BAC-（∠BAD+∠GAC）=100°-80°=20°；
（3）由（2）知，AD=BD，AG=GC，
∴AD+DG+AG=BD+DG+GC=BC．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質；進行有效的角與線段的轉化是正確解答本題的關鍵．