Question

9．矩形ABCD中，∠DBA=60°，把△ABD繞點B逆時針旋轉使得點A落在BD上，點A對稱點為點A₁，點D對稱點為點D₁，A₁ D₁與BC交于點E，連接D₁C．
（1）求證：EC=EA₁；
（2）求證：點D₁、C、D在同一直線上．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質得∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，再根據旋轉的性質得∠A₁ BD₁=∠ABD=60°，A₁ D₁=AD=BC，∠BD₁ A₁=∠ADB=30°，則∠D₁B C=∠A₁ BD₁-∠DBC=30°，于是根據等腰三角形的判定得BE=ED₁，所以EC=E A₁；
（2）利用“SAS”可證明△B E A₁≌△∠CED₁，則∠D₁CE=∠B A₁ E=90°，所以∠D₁CE+∠BCD=180°，于是可判斷點D₁、C、D在同一直線上．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD中，∠DBA=60°，
∴∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，
∵△BA₁ D₁是△ABD繞點B逆時針旋轉所得，且點A落在BD上，
∴∠A₁ BD₁=∠ABD=60°，A₁ D₁=AD=BC，∠BD₁ A₁=∠ADB=30°，
∴∠D₁B C=∠A₁ BD₁-∠DBC=60°-30°=30°，
∴∠D₁B E=∠ED₁B，
∴BE=ED₁，
∴BC-BE=A₁ D₁-ED₁，
∴EC=E A₁；
（2）證明：在△B E A₁和△∠CED₁ 中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE={D}_{1}E}\\{∠BE{A}_{1}=∠{D}_{1}EC}\\{E{A}_{1}=EC}\end{array}\right.$，
∴△B E A₁≌△∠CED₁，
∴∠D₁CE=∠B A₁ E=90°，
∴∠D₁CE+∠BCD=90°+90°=180°，
∴點D₁、C、D在同一直線上．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是證明BE=D₁E．