Question

6．如圖，在直角坐標系中，點A（12，0），點C在y軸正半軸上，點B在x軸的負半軸上，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，過點C作CE⊥BC交x軸于點E，以CE為邊在第一象限構造正方形CEFG，過點A作AD⊥x軸交直線BC于點D．記OC=3t，解答下列問題：
（1）用關于t的代數式表示AD的長度；
（2）當點E在線段OA（不含端點）上時，記四邊形AECD的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）以AD為直徑作⊙P．
①當正方形CEFO的一邊所在直線與⊙P相切時，求出所有滿足條件的t的值；
②當點P在正方形CEFG內部且剛好落在對角線上時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，由OC∥AD，可得$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OB}{BA}$，即$\frac{3t}{AD}$=$\frac{4t}{4t+12}$，由此推出AD=3t+9．
（2）由△BOC∽△COE，可得OC²=BO•OE，推出EO=$\frac{9}{4}$t，由題意0＜$\frac{9}{4}$t＜12，推出0＜t＜$\frac{16}{3}$．構建S=S_梯形AOCD-S_△COE計算即可．
（3）①分三四種情形分別討論，想辦法構建方程解決問題．
②分兩種情形構建一次函數解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{4}$，OC=3t，
∴OB=4t，
∵AD⊥AB，OC⊥AB，
∴OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OB}{BA}$，
∴$\frac{3t}{AD}$=$\frac{4t}{4t+12}$，
∴AD=3t+9．

（2）如圖1中，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠BCO+∠OCE=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠OCE=∠CBO，∵∠BOC=∠EOC，
∴△BOC∽△COE，
∴OC²=BO•OE，
∴EO=$\frac{9}{4}$t，
由題意0＜$\frac{9}{4}$t＜12，
∴0＜t＜$\frac{16}{3}$．
∴S=S_梯形AOCD-S_△COE=$\frac{1}{2}$•（3t+3t+9）•12-$\frac{1}{2}$•$\frac{9}{4}$t•3t=-$\frac{27}{8}$t²+36t+54．（0＜t＜$\frac{16}{3}$）．

（3）①a、如圖2中，當直線GF與⊙P相切時，作PH⊥CD于H，

由△PHD∽△BOC可得，DH=$\frac{3}{10}$（3t+9），易知CE=$\frac{15}{4}$t，CD=15，
∴HC-CG=$\frac{1}{2}$（3t+9），
∴15-$\frac{3}{10}$（3t+9）-$\frac{15}{4}$t=$\frac{1}{2}$（3t+9），
解得t=$\frac{156}{123}$s．
當直線CE與⊙P相切時，CH=PA，則有15-$\frac{3}{10}$（3t+9）=$\frac{1}{2}$（3t+9），
解得t=$\frac{39}{12}$s，

b、如圖3中，當⊙P與GF相切時，

易知PH是梯形DGFA的中位線，
∴PH=$\frac{DG+AF}{2}$，
∴$\frac{3t+9}{2}$=$\frac{\frac{15}{4}t-15+\frac{15}{4}t}{2}$，
解得t=$\frac{11}{7}$s，

c、如圖4中，當⊙P與EF相切時，設切點為H，連接HP，延長HP交CD于K．

根據PA=PH，PH+PK=CE，
可得$\frac{3t+9}{2}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{3t+9}{2}$=$\frac{15}{4}$t，
解得t=$\frac{162}{21}$s．
綜上所述，當t=$\frac{156}{123}$s或$\frac{39}{12}$s或$\frac{11}{7}$s或$\frac{162}{21}$s時，⊙P與正方形CEFO的一邊所在直線與⊙P相切．

②a、如圖5中，當點P在對角線CF上時，作FH⊥OA于H．

易證△EOC≌△FHE，
∴FH=OE=$\frac{9}{4}$t，EH=OC=3t，
∴F（$\frac{21}{4}$t，$\frac{9}{4}$t），
∴直線CF的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+3t，
把P（12，$\frac{3t+9}{2}$）代入直線CF的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+3t，
得$\frac{3t+9}{2}$=-$\frac{12}{7}$+3t，
解得t=$\frac{87}{31}$s．

b、如圖6中，當點P在對角線DE上時．

∵EG⊥CF，
∴直線EG的解析式為y=7x-$\frac{63}{4}$t，
把P（12，$\frac{3t+9}{2}$）代入直線EG的解析式為y=7x-$\frac{63}{4}$t，
得$\frac{3t+9}{2}$=84-$\frac{63}{4}$t，
解得t=$\frac{106}{23}$s．
綜上所述，當t=$\frac{87}{31}$s或$\frac{106}{23}$s時，點P在正方形CEFG內部且剛好落在對角線上．

點評 本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質、一次函數的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理、梯形中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解或構建一次函數解決問題，屬于中考壓軸題．