Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的形狀并給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作DN平分∠ADC；
（2）根據等腰三角形的性質得∠BAD=∠CAD，再利用AM是△ABC外角∠CAE的平分線可得∠FAD=90°，則可判斷AF∥BC，利用平行線的性質得∠CDF=∠AFD，加上∠AFD=∠ADF，所以∠CDF=∠ADF，然后根據等腰三角形的判定方法可得到△ADF是等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖，DN為所作；

（2）△ADF是等腰直角三角形． 
理由如下：∵AB=AC，AD是高，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分線，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AF∥BC，
∴∠CDF=∠AFD，
又∵∠AFD=∠ADF，
∴∠CDF=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰直角三角形．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了等腰三角形的判斷與性質．